พาราโบลา หรือ สมการกำลังสอง
สิ่งที่ควรรู้เกี่ยวกับกราฟพาราโบลา หรือ สมการกำลังสอง
1. รูปแบบสมการ มี 2 รูปแบบใหญ่ๆ คือ
1.1 สมการ y = ax2 + bx + c
1.2 สมการ y = a(x – h)2 + k
2. รูปกราฟเป็นแบบหงาย หรือ คว่ำ ขึ้นอยู่กับค่า สัมประสิทธิ์ “a”
2.1 ถ้า a เป็นจำนวนบวก หรือ a > 0 จะได้กราฟรูปพาราโบลาหงาย ซึ่งจะมีจุดยอด(Vertex) เป็นจุดต่ำสุด
2.2 ถ้า a เป็นจำนวนลบ หรือ a < o จะได้กราฟรูปพาราโบลาคว่ำ ซึ่งจะมีจุดยอด(Vertex) เป็นจุดสูงสุด
3. จุดยอด(Vertex) ของกราฟ หาได้โดย
3.1 รูปแบบสมการ y = ax2 + bx + c จุดยอดหาได้จากสูตร ซึ่งคือ
จุด ( -b / 2a , (4ac – b2) / 4a )
3.2 รูปแบบสมการ y = a(x – h)2 + k จุดยอดคือ จุด ( h , k )
4. แกนสมมาตรของกราฟ ได้แก่
4.1 รูปแบบสมการ y = ax2 + bx + c แกนสมมาตร คือแกน x = -b / 2a
4.2 รูปแบบสมการ y = a(x – h)2 + k แกนสมมาตร คือแกน x = h
5. จุดตัดแกน x ของกราฟ หาได้โดย
5.1 รูปแบบสมการ y = ax2 + bx + c จุดตัดแกน x หาจากการแทนค่า y = 0 ในสมการแล้วแก้สมการกำลังสองด้วยการแยกตัวประกอบทวินาม หรือวิธีแทนค่าในสูตร x = (-b ± √(b2 – 4ac)) / 2a ก็จะได้จุดตัดแกน x คือ จุด
( (-b + √(b2 – 4ac)) / 2a , 0 ) และ/หรือ จุด ( (-b + √(b2 – 4ac)) / 2a , 0 )
5.2 รูปสมแบบการ y = a(x – h)2 + k จุดตัดแกน x หาจากการแทนค่า y = 0 ในสมการแล้วแก้สมการกำลังสองด้วยการแยกตัวประกอบทวินาม หรือวิธีแทนค่าในสูตร x = h ± √(-k / a) ก็จะได้จุดตัดแกน x คือ จุด( h + √(-k / a) , 0 ) และ/หรือ จุด ( h - √(-k / a) , 0 )
ทั้งนี้จุดตัดแกน x อาจมีได้ถึง 2 จุด หรือ 1 จุด หรืออาจไม่มีเลยก็เป็นไปได้ ขึ้นอยู่กับค่าผลลัพธ์ของพจน์ √(b2 – 4ac) หรือ √(-k / a) ว่าจะมากกว่าศูนย์ หรือเท่ากับศูนย์ หรือน้อยกว่าศูนย์ ตามลำดับ
6. จุดตัดแกน y ของกราฟ หาได้โดย
6.1 รูปแบบสมการ y = ax2 + bx + c จุดตัดแกน y หาจากการแทนค่า x = 0 ในสมการ ซึ่งจะได้ค่า y = c ดังนั้นจุดตัดแกน x คือ จุด ( 0 , c )
6.2 รูปสมแบบการ y = a(x – h)2 + k จุดตัดแกน y หาจากการแทนค่า x = 0 ในสมการ ซึ่งจะได้ค่า y = ah2 + k ดังนั้นจุดตัดแกน x คือ จุด ( 0 , ah2 + k )
ขอให้จำให้แม่นและนำไปใช้ได้อย่างคล่องแคล่วกันทุกคนนะ ด้วยความปรารถนาดีจาก-อ.นก
โจทย์ปัญหาที่น่าสนใจ-เรื่อง พาราโบลา หรือ สมการกำลังสอง
1. จากสมการ y = 4 + 4x – 2x2 ให้หา
1) จุดยอดของกราฟ
2) แกนสมมาตร
3) จุดตัดแกน x
4) จุดตัดแกน y
2. พาราโบลารูปใดที่มีจุดยอดอยู่บนแกน y
1) y = x2 – 1 2) y = 2x2 – x
3) y = 2x2 – x + 1 4) y = x2 + 3x – 1
3. จากสมการ y = (x – 2)2 และ y = x2 + 2 มีจุดยอดของกราฟห่างกันกี่หน่วย
4. กราฟของ y = x2 – 2x + 1 และ y = -x2 + 2x – 1 พบกันที่จุดใด
5. ถ้ากราฟของ y = x2 – 8x + c สัมผัสแกน x จงหาค่า c เท่ากับเท่าไร
6. ถ้า x = -2 ทำให้พาราโบลา y = ax2 – bx + 5 โดยที่ a > 0 มีค่าต่ำสุดเท่ากับ 1 แล้วจงหาค่า a, b ตามลำดับ
7. ถ้ากราฟของพาราโบลา y = x2 – 4x + 3 และ y = -2x + a ตัดกันเพียงจุดเดียวแล้ว จงหาค่าของ a เท่ากับเท่าไร
8. พาราโบลาในข้อใดที่ให้ค่าสูงสุด
1) y - x2 = 4 2) 5 - 2x2 = 4x – y
3) 3 - y = x2 – 2x 4) y = (2x – 1)2
9. ข้อใดเป็นกราฟพาราโบลาที่มีจุดยอด (-1, -8) และตัดแกน x ที่จุด (-3, 0)
1) y = (x + 1)2 – 8 2) y = (x – 1)2 + 8
3) y = -2(x + 1)2 – 8 4) y = 2(x + 1)2 - 8
10. พาราโบลาที่มีสมการเป็น y = -x2 + 4x – 5 จะมีแกนสมมาตรของพาราโบลาตัดกับเส้นตรง y = 7 ที่จุดใด
11. พาราโบลาที่มีจุดยอดที่ (1, 9) ตัดแกน x ที่ (-2, 0) กับ (4, 0) จะมีสมการตามข้อใด
1) y = x2 – 2x - 8 2) y = - x2 - 2x + 8
3) y = - x2 + 2x + 8 4) y = - x2- 4x + 8
12. จุดวกกลับของกราฟของสมการในข้อใดที่อยู่ในจตุภาคที่ 3
1) y = 3(x – 4)2 + 5 2) y = 3(x – 4)2 - 5
3) y = -3(x + 4)2 - 5 4) y = -3(x + 4)2 + 5
13. ถ้ากราฟของสมการ y = 3(x – 4)2 + k ผ่านจุด (2 , 5) แล้ว k จะมีค่าเท่าใด
14. ถ้ากราฟพาราโบลา y = x2 + 14x + 48 ตัดแกน x ที่จุด A และ B ระยะทางจาก A ถึง B ยาวกี่หน่วย
15. กราฟของสมการในข้อใดมี (1/2 , 49/4) เป็นจุดสูงสุด
1) y = x2 – x – 12 2) y = - x2 + x + 12
3) y = x2 + 2x + 11 4) y = - x2 – 2x - 11
16. จากกราฟ y = 7 + 2(4x – x2) มีจุด (a , b) เป็นจุดสูงสุด จงหาค่า a + b
17. ถ้าจุดต่ำสุดของกราฟ y = 2x2 + 4x + k อยู่บนเส้นตรง y = - 4 แล้ว จงหาค่า k
18. กราฟ 2x2 + 9x – 5 – y = 0 ตัดแกน x ที่จุด (m , 0) และ (n , 0) จงหาค่า m + n
19. จากสมการ x2 – 2x + 5 = k เมื่อ x เป็นจำนวนจริงใดๆ และ k เป็นค่าที่น้อยที่สุดของ x2 – 2x + 5 และจากสมการ 7 + 10x – x2 = c เมื่อ x เป็นจำนวนจริงใดๆ และ c เป็นค่าที่มากที่สุดของ 7 + 10x – x2 จงหาค่าของ k2 + 2kc + c2
20. เมื่อโยนก้อนหินขึ้นไปในอากาศในเวลา t ใดๆ ระยะความสูง h (เมตร) ของก้อนหินจากพื้นเป็นไปตามสมการ h = 240t – 5t2 จงหาว่าก้อนหินถูกโยนขึ้นไปได้สูงเป็นระยะทางเท่าใด
(ที่มา: แบบทดสอบคณิตศาสตร์ ม.3 เล่ม 1 สาระการเรียนรู้พื้นฐานและเพิ่มเติม, โชคชัย สิริหาญอุดม, บริษัท สำนักพิมพ์เดอะบุคส์ จำกัด, พฤษภาคม 2552.)
