ReadyPlanet.com
dot dot
dot
ข้อมูลอ้างอิง
dot
bulletกฎหมายอ้างอิงใน-ทัศนะฯ/ข่าวด่วนฯ
dot
ต้องการรับข่าวสารทาง E-mail โปรดกรอก Address

dot


หลักสูตรอบรม Update การภาษีอากรและบัญชี นับชั่วโมงได้ครบถ้วนสำหรับ TA/สำนักงานบัญชีตัวแทน พ่วงนับชั่วโมงในส่วนของผู้ทำบัญชีและ CPA ได้ด้วย
ให้การอบรม/สัมมนาที่เข้มข้น และนำไปใช้ประโยชน์ได้อย่างแท้จริง ไม่ใช่แค่เพียงถือว่าได้ผ่านการอบรมแล้ว แต่ปฏิบัติจริงไม่เป็น "หลักสูตรดี อบรมเข้ม เน้นปฏิบัติได้ ต้องที่ PAT. Training & Business"
ประมวลรัษฎากร ฉบับอิเลคโทรนิค โดยกรมสรรพากร....เพื่อการอ้างอิงที่ถูกต้องครบถ้วน
เวปไซต์ กรมพัฒนาธุรกิจการค้า กระทรวงพาณิชย์ เพื่อการอ้างอิงเกี่ยวกับการบัญชีและงบการเงิน
เวปไซต์ กรมสรรพากร กระทรวงการคลัง เพื่อการอ้างอิงเกี่ยวกับการภาษีอากร
เวปไซต์ สภาวิชาชีพบัญชีฯ เพื่อการอ้างอิงของผู้ประกอบวิชาชีพบัญชี
รับปรึกษาปัญหาภาษีอากร/ให้บริการทำบัญชีที่มีคุณภาพ/ตรวจสอบและรับรองบัญชี/ออกแบบและวางระบบบัญชี/อบรมและสัมมนาด้านบัญชี,ภาษีอากร
รับกวดวิชา/สอนพิเศษ ระดับมัธยมปลาย (ม.4-6) โดย อาจารย์ผู้ทรงคุณวุฒิระดับปริญญาโท วิชา : วิทยาศาสตร์, คณิตศาสตร์ และภาษาอังกฤษ


Math M1-3 Tips : พาราโบลา article

พาราโบลา หรือ สมการกำลังสอง

สิ่งที่ควรรู้เกี่ยวกับกราฟพาราโบลา หรือ สมการกำลังสอง

1.   รูปแบบสมการ มี 2 รูปแบบใหญ่ๆ คือ

1.1  สมการ y = ax2 + bx + c

1.2  สมการ  y = a(x – h)2 + k

2.   รูปกราฟเป็นแบบหงาย หรือ คว่ำ ขึ้นอยู่กับค่า สัมประสิทธิ์ “a

2.1  ถ้า a เป็นจำนวนบวก หรือ a > 0 จะได้กราฟรูปพาราโบลาหงาย ซึ่งจะมีจุดยอด(Vertex) เป็นจุดต่ำสุด

2.2  ถ้า a เป็นจำนวนลบ หรือ a < o จะได้กราฟรูปพาราโบลาคว่ำ ซึ่งจะมีจุดยอด(Vertex) เป็นจุดสูงสุด

3.   จุดยอด(Vertex) ของกราฟ หาได้โดย

3.1  รูปแบบสมการ y = ax2 + bx + c จุดยอดหาได้จากสูตร ซึ่งคือ

จุด ( -b / 2a , (4ac – b2) / 4a )

3.2  รูปแบบสมการ y = a(x – h)2 + k จุดยอดคือ จุด ( h , k )

4.   แกนสมมาตรของกราฟ ได้แก่

4.1  รูปแบบสมการ y = ax2 + bx + c แกนสมมาตร คือแกน x = -b / 2a

4.2  รูปแบบสมการ y = a(x – h)2 + k แกนสมมาตร คือแกน x = h

5.   จุดตัดแกน x ของกราฟ หาได้โดย

5.1  รูปแบบสมการ y = ax2 + bx + c จุดตัดแกน x หาจากการแทนค่า y = 0 ในสมการแล้วแก้สมการกำลังสองด้วยการแยกตัวประกอบทวินาม หรือวิธีแทนค่าในสูตร x = (-b ± √(b2 – 4ac)) / 2a ก็จะได้จุดตัดแกน x คือ จุด

( (-b + √(b2 – 4ac)) / 2a , 0 ) และ/หรือ จุด ( (-b + √(b2 – 4ac)) / 2a , 0 )

5.2  รูปสมแบบการ y = a(x – h)2 + k จุดตัดแกน x หาจากการแทนค่า y = 0 ในสมการแล้วแก้สมการกำลังสองด้วยการแยกตัวประกอบทวินาม หรือวิธีแทนค่าในสูตร x = h ± √(-k / a) ก็จะได้จุดตัดแกน x คือ จุด( h + √(-k / a) , 0 ) และ/หรือ จุด ( h - √(-k / a) , 0 )

ทั้งนี้จุดตัดแกน x อาจมีได้ถึง 2 จุด หรือ 1 จุด หรืออาจไม่มีเลยก็เป็นไปได้ ขึ้นอยู่กับค่าผลลัพธ์ของพจน์ √(b2 – 4ac) หรือ √(-k / a) ว่าจะมากกว่าศูนย์ หรือเท่ากับศูนย์ หรือน้อยกว่าศูนย์ ตามลำดับ

6.   จุดตัดแกน y ของกราฟ หาได้โดย

6.1  รูปแบบสมการ y = ax2 + bx + c จุดตัดแกน y หาจากการแทนค่า x = 0 ในสมการ ซึ่งจะได้ค่า y = c ดังนั้นจุดตัดแกน x คือ จุด ( 0 , c )

6.2  รูปสมแบบการ y = a(x – h)2 + k จุดตัดแกน y หาจากการแทนค่า x = 0 ในสมการ ซึ่งจะได้ค่า y = ah2 + k ดังนั้นจุดตัดแกน x คือ จุด ( 0 , ah2 + k )

ขอให้จำให้แม่นและนำไปใช้ได้อย่างคล่องแคล่วกันทุกคนนะ  ด้วยความปรารถนาดีจาก-อ.นก

 

 

 

 

โจทย์ปัญหาที่น่าสนใจ-เรื่อง พาราโบลา หรือ สมการกำลังสอง

1.      จากสมการ y = 4 + 4x – 2x2 ให้หา

1)     จุดยอดของกราฟ

2)     แกนสมมาตร

3)     จุดตัดแกน x

4)     จุดตัดแกน y

2.      พาราโบลารูปใดที่มีจุดยอดอยู่บนแกน y

                        1)  y = x2 – 1                                                 2)  y = 2x2 – x          

3)  y = 2x2 – x + 1                                        4)  y = x2 + 3x – 1

3.      จากสมการ y = (x – 2)2 และ y = x2 + 2 มีจุดยอดของกราฟห่างกันกี่หน่วย

4.      กราฟของ y = x2 – 2x + 1 และ y = -x2 + 2x – 1 พบกันที่จุดใด

5.      ถ้ากราฟของ y = x2 – 8x + c สัมผัสแกน x จงหาค่า c เท่ากับเท่าไร

6.      ถ้า x = -2 ทำให้พาราโบลา y = ax2 – bx + 5 โดยที่ a > 0 มีค่าต่ำสุดเท่ากับ 1 แล้วจงหาค่า a, b ตามลำดับ

7.      ถ้ากราฟของพาราโบลา y = x2 – 4x + 3 และ y = -2x + a ตัดกันเพียงจุดเดียวแล้ว จงหาค่าของ a เท่ากับเท่าไร

8.      พาราโบลาในข้อใดที่ให้ค่าสูงสุด

1)  y - x2 = 4                                                  2)  5 - 2x2 = 4x – y  

3)  3 - y = x2 – 2x                                         4)  y = (2x – 1)2

9.      ข้อใดเป็นกราฟพาราโบลาที่มีจุดยอด (-1, -8) และตัดแกน x ที่จุด (-3, 0)

1)  y = (x + 1)2 – 8                                       2)  y = (x – 1)2 + 8  

3)  y = -2(x + 1)2 – 8                                    4)  y = 2(x + 1)2 - 8

10. พาราโบลาที่มีสมการเป็น y = -x2 + 4x – 5 จะมีแกนสมมาตรของพาราโบลาตัดกับเส้นตรง y = 7 ที่จุดใด

11. พาราโบลาที่มีจุดยอดที่ (1, 9) ตัดแกน x ที่ (-2, 0) กับ (4, 0) จะมีสมการตามข้อใด

1)  y = x2 – 2x - 8                                         2)  y = - x2 - 2x + 8   

3)  y = - x2 + 2x + 8                                     4)  y = - x2- 4x + 8

12. จุดวกกลับของกราฟของสมการในข้อใดที่อยู่ในจตุภาคที่ 3

1)  y = 3(x – 4)2 + 5                                     2)  y = 3(x – 4)2 - 5  

3)  y = -3(x + 4)2 - 5                                    4)  y = -3(x + 4)2 + 5

13. ถ้ากราฟของสมการ y = 3(x – 4)2 + k ผ่านจุด (2 , 5) แล้ว k จะมีค่าเท่าใด

14. ถ้ากราฟพาราโบลา y = x2 + 14x + 48 ตัดแกน x ที่จุด A และ B ระยะทางจาก A ถึง B ยาวกี่หน่วย

15. กราฟของสมการในข้อใดมี (1/2 , 49/4) เป็นจุดสูงสุด

1)  y = x2 – x – 12                                        2)  y = - x2 + x + 12 

3)  y = x2 + 2x + 11                                      4)  y = - x2 – 2x - 11

16. จากกราฟ y = 7 + 2(4x – x2) มีจุด (a , b) เป็นจุดสูงสุด จงหาค่า a + b

17. ถ้าจุดต่ำสุดของกราฟ y = 2x2 + 4x + k อยู่บนเส้นตรง y = - 4 แล้ว จงหาค่า k

18. กราฟ 2x2 + 9x – 5 – y = 0 ตัดแกน x ที่จุด (m , 0) และ (n , 0) จงหาค่า m + n

19. จากสมการ x2 – 2x + 5 = k เมื่อ x เป็นจำนวนจริงใดๆ และ k เป็นค่าที่น้อยที่สุดของ x2 – 2x + 5 และจากสมการ 7 + 10x – x2 = c เมื่อ x เป็นจำนวนจริงใดๆ และ c เป็นค่าที่มากที่สุดของ 7 + 10x – x2 จงหาค่าของ k2 + 2kc + c2

20. เมื่อโยนก้อนหินขึ้นไปในอากาศในเวลา t ใดๆ ระยะความสูง h (เมตร) ของก้อนหินจากพื้นเป็นไปตามสมการ h = 240t – 5t2 จงหาว่าก้อนหินถูกโยนขึ้นไปได้สูงเป็นระยะทางเท่าใด

 

(ที่มา: แบบทดสอบคณิตศาสตร์ .3 เล่ม 1 สาระการเรียนรู้พื้นฐานและเพิ่มเติม, โชคชัย สิริหาญอุดม, บริษัท สำนักพิมพ์เดอะบุคส์ จำกัด, พฤษภาคม 2552.)







Copyright © 2010 All Rights Reserved.